אשכול האנומליה של המים - חלק א - גרף צפיפות המים - למורה

הנחיות למורה

אשכול 1 מתוך 3 אשכולות.

יחידה:

מדעים

כיתה מומלצת:

כיתה ח / כיתה ט

משך הזמן המומלץ:

45 דקות

נושאים/מושגים חוץ מתמטיים הנלמדים באשכול (הֶקְשֶר):

מסה וצפיפות של חומרים, יחידות של מסה וצפיפות. קשר הקיים בין טמפרטורה לצפיפות. האנומליה של המים וביטוייה בתופעות שונות בטבע.

ידע ומיומנויות מתמטיים נדרשים:

נושא מושגים מיומנויות
גרפים ופונקציות– תחום של הפונקציה
– השתנות של פונקציה בקצב אחיד ובקצב לא אחיד
– קנה מידה של מערכת צירים
– נקודת מקסימום
– תחום עליה
– תחום ירידה
– הדגמה באמצעות טבלאות וגרפים כיצד פונקציה מתארת תופעה.
– מהכרת הפונקציה הסקת מסקנות ותיאור של השתנות של תופעה.
– קריאת גרף המדגים את תופעת האנומליה של המים.
אחוזים– אחוז– הבנת משמעות האחוז
– חישוב אחוזים במצבים סטטיים (החלק היחסי של כמות מתוך כמות כללית).
אומדן– רמת דיוק של מספרים רציונליים בייצוג עשרוני– אוריינות כמותית: חישוב, אומדן ועיגול מספרים לצורך פתרון בעיות.
בעיות אורייניות מתוך מציאות קרובה לתלמידים– צפיפות,
– מסה
– נפח
– יחידות של: מסה, נפח, צפיפות
– גרף המתאר את השתנות צפיפות המים, בהתאם לטמפרטורה
– פתרון בעיות המשלבות בין הבנת טקסט מילולי והצגת נתונים הלקוחים מתוך המציאות, לביצוע החישובים המתאימים לפתרון הבעיות.
– מתן הסברים לתופעות טבע.

מטרות האשכול:

פתרון הבעיות שבאשכול דורש יישום ידע ומיומנויות במתמטיקה בהתאם לתוכנית הלימודים של משרד החינוך. הפתרון מוביל להעמקת ההבנה כיצד להיעזר במידע המוצג בטקסט ובמידע המוצג בגרף המתאר את השפעת הטמפרטורה על השינוי בצפיפות המים ובצפיפות הקרח, כדי להכיר ולהבין את תופעת האנומליה של המים.

מערך דידקטי מומלץ:

  • רצוי להקדים ולשאול את התלמידים שאלות שתלמדנה על הידע שלהם לגבי צפיפות של חומרים.
  • אפשר לקרוא יחד עם התלמידים את הפתיח – הסבר לגבי צפיפות חומרים ותלותו בטמפרטורה
  • הצגת קטע הווידאו המוצג בפתיח, בפני כל הכיתה – ולהשאיר את השאלה הנשאלת בו פתוחה.
  • ארגון הכיתה: למידה בזוגות או בקבוצות.
  • ציוד נדרש: מחשבון, מחשב כדי שניתן יהיה להפעיל את היישומון (לא הכרחי).
  • ניהול השיעור: המורה יאפשר לתלמידים לפתור את הבעיות שבאשכול באופן עצמאי, כשבאפשרותם להיעזר במדרגות וביישומונים. המורה יעודד תלמידים שמתקשים להיעזר במדרגות, וידריך את התלמידים במקרה שישנן אי הבנות.
  • המורה יבקש, מתלמידים שסיימו לפתור את הבעיות שבאשכול, להציע שאלה נוספת הקשורה לאשכול ולענות עליה.
  • דיון בכיתה:
  • התלמידים יציגו ויסבירו את תשובותיהם בדיון. רצוי לאפשר להם להציג דרכים שונות לפתרון.
  • יש לאפשר לתלמידים להציג את השאלות הנוספות שחשבו עליהן ולדון בפתרונות שהציעו.
  • רצוי שהמורה יבחר, מבין שאלות התלמידים, את השאלות שלדעתו ראוי לדון בהן.
  • אפשרות נוספת היא להציע לתלמידים להגיש את השאלות הנוספות ואת פתרונן כעבודת הגשה.

אשכול האנומליה של המים – חלק א – גרף צפיפות המים

תיאור סיטואציה

ידוע כי עץ צף על פני המים ואילו ברזל שוקע במים – במה זה תלוי?
שמן קפוא שוקע בשמן נוזלי, אבל קוביות קרח צפות על פני המים – מדוע?

באשכול זה נעסוק בשאלות אלו.

מסה – היא כמות החומר המצויה בגוף כלשהו.*

היחידה למדידת מסה היא קילוגרם (ק"ג) או גרם, מיליגרם, טון ועוד.

צפיפות החומר – היא המסה של יחידת נפח של החומר, לדוגמא המסה של סמ"ק או המסה של מ"ק .
הצפיפות נמדדת ביחידות של מסה לנפח,
כלומר, בגרם לסמ“ק (\(\large\frac{gr}{cm^3}\)) או ב- ק“ג למ"ק (\(\large\frac{kg}{m^3}\)).

* הערה: המסה של גוף אינה משתנה ממקום למקום, והיא תהיה זהה בכדור-הארץ, על פני הירח או בכל מקום אחר. לעומת זאת, משקל הגוף תלוי בכוח המשיכה הפועל עליו, ולכן יהיה משקלנו על פני הירח קטן יותר!

חומר שצפיפותו קטנה יותר, צף על גבי נוזל שצפיפותו גדולה יותר.

בתמונה משמאל משורה המכילה מספר נוזלים השונים בצפיפות שלהם. הצפוף ביותר למטה, והכי פחות צפוף למעלה.

עץ צף על פני המים, שמן צף על פני המים. לעומת זאת, ברזל שוקע במים כי צפיפות הברזל גדולה מצפיפות המים.

כאשר מחממים חומר מסתו אינה משתנה, אבל צפיפותו משתנה. כמעט בכל החומרים הצפיפות קטנה כאשר הטמפרטורה עולה.
למשל, כדי שכדור פורח ימריא יש לחמם את הגז שבתוכו. החימום מקטין את צפיפות הגז שבתוך הבלון. כאשר צפיפות הגז תהיה קטנה מצפיפות האוויר, הכדור יעלה למעלה.

כאשר מקררים חומר בדרך כלל צפיפותו גדלה.
למשל, כשמקפיאים שמן צפיפותו גדלה. שמן קפוא צפיפותו גדולה יותר מצפיפות שמן נוזלי. ולכן אם נכניס קוביית שמן קפוא לתוך שמן נוזלי, הקובייה תשקע.

יוצאי דופן מבחינה זו הם מים (סרט):
https://youtu.be/vMcFfibIJaA

שמן צף על מים

1. בעיית מטרה 1: הקדמה

לפניכם גרף המתאר את התלות בין צפיפות של מים מתוקים לטמפרטורה של המים,
וכן את התלות בין צפיפות של קרח לטמפרטורה של הקרח.

התבוננו בגרף וענו על השאלות הבאות:

  1. השוו בין השתנות צפיפות המים כתלות בטמפרטורה, לבין השתנות צפיפות הקרח כתלות בטמפרטורה.
  2. הסבירו מדוע המים הם יוצאי דופן. או, במילים אחרות, הסבירו מהי האנומליה של המים. (אנומליה – חורג מהנורמה).
  3. צפיפות מים מתוקים ב- \(0^{\circ}C\) היא \(\large\frac{ג"ק}{ק"מ}\space\normalsize 999.87\).

          ג1. מהי צפיפות הקרח ב- \(0^{\circ}C\)?
          ג2. בכמה אחוזים משתנה צפיפות מים מתוקים כאשר הם הופכים לקרח?
               הציגו את פתרונותיכם.

הערה: שימו לב לסימון \(\approx\) המציין "קפיצה" בערכי הצפיפות,
בין 917.4 לבין 998.4, שפירושה שקנה המידה אינו אחיד.

(ניתן ללחוץ על התמונה ולהגדיל אותה)

הצעה לפתרון לבעיית מטרה 1 (הקדמה)

  1. השוואה בין השתנות צפיפות המים כתלות הטמפרטורה לבין השתנות צפיפות הקרח על פי הגרף הנתון:
    מיםקרח
    צפיפות המים יורדת ככל שמחממים אותם, רק בתחום \(t\gt 4^{\circ}C\).
    צפיפות המים עולה ככל שמחממים אותם, בתחום \(0^{\circ}C \le t\le 4^{\circ}C\).
    צפיפות הקרח יורדת ככל שמחממים אותו, בתחום \(-4^{\circ}C \le t\le 0^{\circ}C\)
    לפי הגרף הנתון קצב השינוי של צפיפות המים ככל שמחממים אותם, אינו קבוע (גרף שאינו קו ישר).לפי הגרף הנתון, קצב השינוי של ירידת צפיפות הקרח ככל שמחממים אותו, בתחום \(-4^{\circ}C \le t\le 0^{\circ}C\), הוא קבוע (גרף של קו ישר).
    למים ב- \(4^{\circ}C\) יש צפיפות מקסימלית, שהיא 1000 ק"ג/ מ"ק.על פי הגרף, לקרח אין צפיפות מקסימלית.
    צפיפות המים ב- \(0^{\circ}C\) היא 999.87 ק"ג/מ"ק.צפיפות הקרח ב- \(0^{\circ}C\) היא 917 ק"ג/מ"ק.
    צפיפות הקרח עולה בצורה משמעותית ב- \(0^{\circ}C\), כשהקרח הופך למים.
  2. האנומליה של המים באה לידי ביטוי בתחום שבין \(0^{\circ}C\) ל- \(4^{\circ}C\). בתחום זה ככל שהטמפרטורה של המים גדלה, צפיפות המים גדלה, ואילו בחומרים אחרים ככל שהטמפרטורה של החומר גדלה, צפיפות החומר קטנה.
    ב- \(0^{\circ}C\), כאשר הקרח מפשיר למים, חלה עליה ניכרת בצפיפות המים. בחומרים אחרים (כמו שמן) כשחומר במצב מוצק מתחמם והופך לנוזל, צפיפותו קטנה.
  3. כאשר המים הופכים לקרח, צפיפות המים קטנה בערך ב- \(\large\frac{999.87\space-\space917}{999.87}\normalsize \cdot 100=8.288 \%\)

1.1 מדרגה 1 לבעיית מטרה 1

בעיה 1.1.1

  1. האם צפיפות הקרח ב- \(-4^{\circ}C\) גדולה או קטנה מצפיפות הקרח ב- \(-2^{\circ}C\)?
  2. בגרף המתאר את הקשר בין צפיפות המים והטמפרטורה שלהם, ב- \(0^{\circ}C\) יש גם מים וגם קרח. הצפיפות של מי גדולה יותר?

בעיה 1.2.1

האם נכונה הטענה הבאה:

ככל שמחממים מים (במצב נוזל) צפיפות המים יורדת.
נמקו תשובתכם.

הערה: שימו לב לסימון \(\approx\) המציין "קפיצה" בערכי הצפיפות,
בין 917.4 לבין 998.4, שפירושה שקנה המידה אינו אחיד.

(ניתן ללחוץ על התמונה ולהגדיל אותה)

הצעה לפתרון למדרגה 1 של בעיית מטרה 1

כאשר מחממים את הקרח מ- (\(-4^{\circ}C\)) עד ל- (\(-1^{\circ}C\)) צפיפות הקרח קטנה, ובכך הקרח אינו יוצא דופן.

בעיה 1.1.1

  1. צפיפות הקרח ב- \(-4^{\circ}C\), גדולה מצפיפות הקרח ב- \(-2^{\circ}C\).
  2. צפיפות המים ב- \(0^{\circ}C\), גדולה יותר מצפיפות הקרח ב- \(0^{\circ}C\).

בעיה 1.2.1

טענה זו אינה נכונה.

צפיפות המים עולה ככל שמחממים אותם, בתחום \(0^{\circ}C \le t\le 4^{\circ}C\).

מטרת מדרגה 1 של בעיית מטרה 1

בעיה 1.1.1

סעיף א – הפניית תשומת לב התלמיד לתחום בגרף המתייחס לצפיפות הקרח.

סעיף ב – הפניית תשומת לב התלמיד לכך שב- \(0^{\circ}C\) המים יכולים להיות גם במצב נוזל וגם במצב מוצק (קרח) (זוהי תופעה פיזיקלית שלא נכָּנס להסבר שלה).

בעיה 1.1.2

הפניית תשומת לב התלמיד לכך שישנו תחום טמפרטורות שבו ככל שמחממים מים צפיפות המים אינה קטנה אלא עולה ובכך באה לידי ביטוי האנומליה של המים.

2. בעיית מטרה 2: סיכום

  1. ידוע כי קרח צף על פני המים. הסבירו תופעה זו.
  1. בתמונה המצורפת רואים קוביית קרח וקוביית שמן קפוא שהוכנסו לצנצנת שבה מים ושמן נוזלי.
    מי זו קוביית הקרח ומי זו קוביית השמן? הסבירו תופעה זו.
  1. אילו תופעות נוספות אתם מכירים, הקשורות לאנומליה של המים?

הצעה לפתרון של בעיית מטרה 2 (סיכום)

  1. למדנו כי כאשר המים קופאים והופכים לקרח צפיפותם קטנה ביותר מ-8%, כלומר צפיפות הקרח קטנה מצפיפות המים ולכן הקרח צף על פני המים, לכן גם קרחונים צפים על פני המים.
  2. שמן נוזלי צף על פני המים כי צפיפותו קטנה מצפיפות המים.
    כאשר מקררים חומר בדרך כלל צפיפותו גדלה, לכן שמן קפוא צפיפותו גדולה יותר מצפיפות השמן הנוזלי והוא ישקע בשמן הנוזלי.
    עקב האנומליה של המים צפיפות הקרח קטנה יותר מצפיפות המים וקטנה יותר מצפיפות השמן הקפוא.
    לכן רואים בתמונה שקובית הקרח צפה גבוה יותר מאשר קוביית השמן הקפוא.

3. מה עוד אפשר לשאול?

העלו שאלות נוספות ונסו למצוא להן תשובות.

הערה: שימו לב לסימון \(\approx\) המציין "קפיצה" בערכי הצפיפות,
בין 917.4 לבין 998.4, שפירושה שקנה המידה אינו אחיד.

(ניתן ללחוץ על התמונה ולהגדיל אותה)

צפיפות המים

צפיפות המים מוגדרת כמשקל של יחידת-נפח של מים.
כידוע, עולה צפיפותם של נוזלים עם ירידת הטמפרטורה עד נקודת הקיפאון. למים אנומאליה במקרה זה, צפיפות המים המקסימאלית היא ב- \(4^{\circ}C\) וערכה אז הוא 1 גרם לסמ"ק מים, ובטמפרטורות נמוכות יותר הצפיפות יורדת עוד.
לשון אחרת – כאשר הטמפרטורה יורדת מתחת ל- \(4^{\circ}C\), נפח המים עולה, עד אשר ב- \(0^{\circ}C\) הם קופאים לקרח – שצפיפותו קטנה ב- 10% בקירוב מצפיפות המים.
חשיבותה של עובדה זו היא עצומה, אם נזכור שבגלל זה יצוף הקרח, הקל יותר, על פני המים. הדבר מאפשר המשך קיום החיים במים, מתחת לפני הקרח.

מקור: צפיפות המים