אשכול עוגת לבה – למורה
יישומונים
- – – – – –
- – – – – –
- – – – – –
- – – – – –
- – – – – –
- – – – – –
- – – – – –
- – – – – –
הנחיות למורה
כיתה מומלצת:
כיתה ח
משך הפעילות המומלצת:
45 דקות
נושאים/מושגים חוץ מתמטיים הנלמדים באשכול (הֶקשר)
תזונה
ידע מתמטי ומיומנויות מתמטיים נדרשים
| נושא | מושגים | מיומנויות |
|---|---|---|
| ייצוגים שונים של פונקציה | – ייצוג מילולי – ייצוג גרפי – ייצוג טבלאי – ייצוג אלגברי | – הבנת הייצוגים השונים של הפונקציה ומעבר בין ייצוגים. |
| גרפים שימושיים – קריאה וסרטוט | – ביטוי אלגברי – ייצוג גרפי | – ייצוג תופעה באמצעות גרף. – קריאת נתונים במערכת צירים: מציאת ערך ה-y שמתאים ל-x ומציאת ערך ה-x שמתאים ל-y. |
| ייצוג תופעות באמצעות פונקציות קוויות | – פונקציה קווית | – תיאור תהליך ההשתנות באמצעות פונקציה קווית. |
| הפונקציה הקווית | – קצב השתנות אחיד – משוואת הקו הישר – שיפוע – ייצוג אלגברי – טבלת ערכים | – בניית משוואת ישר. – הצבת ערך ה-x בפונקציה ומציאת ערך ה-y. – הצבת ערך ה-y בפונקציה ומציאת ערך ה-x. |
| ערך מוחלט | – ערך מוחלט | – חישוב הערך המוחלט של הפרש בין שני ערכים. |
מטרות האשכול:
העמקה של ידע ומיומנויות בנושא פונקציה קווית וקישור של נושא הקו הישר לתוכן חוץ-מתמטי בתחום האפייה.
מערך דידקטי מומלץ
- אירגון הכיתה: למידה בזוגות או בקבוצות.
- ציוד נחוץ: מחשבים, גישה לאינטרנט, ברקו, סרגלים ומחשבונים.
- ניהול השיעור: תחילת השיעור במליאה – הסבר על הנתונים, כדי לוודא שהמושגים ברורים. פתרון בעיות המטרה יתבצע בקבוצות. המורה יאפשר לתלמידים לענות על השאלות שבאשכול באופן עצמאי, כשהם יכולים להיעזר במדרגות ובישומונים. המורה יעודד תלמידים שמתקשים להיעזר במדרגות, וידריך את התלמידים במקרה שישנן אי הבנות. יש לאפשר שימוש במחשבון. אחרי העבודה בקבוצות ייערך דיון במליאה.
תלמידים שסיימו את פתרון האשכול ניתן לבקש מהם לשאול שאלה נוספת הקשורה לאשכול ולהציע פתרונות לשאלה ששאלו. - דיון כיתתי: בדיון, תלמידים יציגו ויסבירו את תשובותיהם. בבחירת הגרפים המתאימים יש להקפיד שתלמידים ינמקו מדוע הגרפים האחרים אינם מתאימים לתיאור הנתון בשאלה. רצוי להיעזר בישומונים להמחשה והבהרה.
ולסיכום לדון בשאלות הנוספות שתלמידים מציעים ובפתרונות לשאלות שלהם.
מקור המשימה: https://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/graph-temperature-vs-time-chocolate-cakes-using-t-ext-oven-temp-t-initial-starting-tempera-q347511
אשכול עוגת לבה
תאור סיטואציה
עוגת לבה או עוגת שוקולד מותך היא קינוח פופולרי שבו החלק הפנימי של העוגה נותר במצב נוזלי.
הקינוח התגלה בטעות כאשר השף האמריקאני-הצרפתי, ז'אן-ז'ורז' וונגריכטן, הוציא עוגת שוקולד מהתנור לפני הזמן והיא לא נאפתה מספיק במרכזהּ (יש מי שטוען שמקור הקינוח הוא בכלל בצרפת).
כדי ליצור את האפקט של השוקולד הנוזלי, כמו לבה רותחת, יש צורך לדייק בטמפרטורת האפייה:
הטמפרטורה של פנים העוגה צריכה להיות כ- 70 מעלות צלזיוס כדי שהבלילה במרכז תישאר במצב נוזלי.
(בטמפרטורה של 100-90 מעלות צלזיוס העוגה אפויה לחלוטין.
נוסף לזאת, יש לקחת בחשבון שהעוגה מכילה ביצים הנאפות ב- 70 מעלות צלזיוס לפחות כדי שתהיינה ראויות למאכל, ולכן אין להוציא את העוגה לפני כן.)
מאשה החליטה לאפות עוגת לבה. לשם כך היא מדדה את הטמפרטורה בתוך העוגה מהרגע שהכניסה אותה לתנור.
המדידות התאפשרו הודות למד-טמפרטורה אלחוטי המותאם לכך. קצה מד- הטמפרטורה נמצא בעוגה ומראה את הטמפרטורה שלה בכל רגע על צג הטלפון הנייד. מדידות הטמפרטורה נערכו בפרקי זמן קבועים והן מיוצגות באמצעות הנקודות הכחולות המופיעות במערכת הצירים.
במהלך האפייה גילתה מאשה שמד-הטמפרטורה התקלקל כאשר הטמפרטורה הגיעה ל- 56 מעלות. אך למזלה של מאשה, אוסף הנקודות של הטמפרטורות שנמדדו – קרוב לתצוגה של פונקציה קווית.
- אחרי שפתרתם את בעיית מטרה 1, המשיכו לבעיית מטרה 2.
- או, במידת הצורך, פתרו את השאלות במדרגה 1.
מקור תמונה: https://ae01.alicdn.com/kf/H9b16c474d3e7438aaee63db965a62d7fg/Kitchen-Oven-Thermometer-Wireless-Smart-BBQ-Meat-Food-Cooking-Steak-Thermometer-Bluetooth-Outdoor-Barbecue-BBQ.jpg
| נקודה | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| זמן האפייה בשניות | 0 | 60 | 120 | 180 | 240 | 300 |
| הטמפרטורה, בתוך העוגה, במעלות צלזיוס | 22 | 35 | 38 | 46 | 50 | 56 |
פתרון לבעיית מטרה 1
ישנן דרכים רבות לקבוע מהו הזמן המתאים. למשל:
- לבחור את שתי נקודות המדידה: הראשונה והאחרונה, לחברן בקו ולמצוא את נקודות החיתוך של הישר כאשר \(y=70\) למציאת הזמן הנכון.
- לחשב ממוצע של שיפועים של כל שתי מדידות סמוכות ולהמשיך את המדידות המשוערות לפי השיפוע הממוצע.
- לחפש ישר שעובר בין כמה שיותר מדידות ולחשב את שיעור ה-x שמתאים ל- \(y=70\) בישר.
- אחרי שפתרתם את השאלות במדרגה 1, חזרו לבעיית מטרה 1.
- או, במידת הצורך, פתרו את השאלות במדרגה 2.
מטרות מדרגה 1 של בעיית מטרה 1
השאלה מדגימה דרך אחת לחישוב הזמן להוצאת העוגה.
ניתנות שתי נקודות והזמן המבוקש.
התלמיד מתבקש להסביר את החישוב.
- אחרי שפתרתם את השאלות במדרגה 2, חזרו לבעיית מטרה 1.
מטרות מדרגה 2 של בעיית מטרה 1
בבעיה זו ניתנות שתי נקודות אחרות.
התלמיד מתבקש לחשב את הזמן הנכון עבורן, לענות האם יש שינוי בתשובה מהמדרגה הקודמת.
ההבנה של התלמיד משתקפת באמצעות השוואה בין שתי הבחירות של הנקודות.
- אחרי שפתרתם את בעיית מטרה 2, המשיכו לבעיית מטרה 3.
- או, במידת הצורך, פתרו את השאלות במדרגה 1.
פתרון לבעיית מטרה 2
התלמידים מעלים רעיונות לדרכים שונות שבהן ניתן לבחור את הישר המדמה את הטמפרטורה בצורה המיטבית.
- אחרי שפתרתם את השאלות במדרגה 1, המשיכו לבעיית מטרה 3.
- גררו את סמל ה +, שעל הקווים המקווקווים, האנכי והאופקי, כדי לצפות בערכים בגרף.
- להעברת ישר דרך שתי נקודות יש ללחוץ בתפריט העליון על הכפתור
ואז ללחוץ על שתי נקודות שבחרתם. - לשינוי צבע של ישר יש ללחוץ על אחד הצבעים שמימין ואז ללחוץ על ישר.
- לסימון נקודה חדשה יש ללחוץ בתפריט העליון על הכפתור
ואז לסמן את הנקודה במקום הרצוי במערכת צירים. - להגדלה/להקטנה של הגרף, יש ללחוץ בעכבר על היישומון, ואז לגלגל את גלגלת העכבר כדי להגדיל/להקטין, או ללחוץ על ארבעת החיצים
ובתפריט המשנה שנפתח, לבחור את זכוכית המגדלת המתאימה). - למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ
בצד שמאל שבתפריט העליון. - לניקוי הישומון כדי להתחיל מחדש, יש ללחוץ על חיצי האתחול
שבפינה הימנית העליונה.
מטרות מדרגה 1 של בעיית מטרה 2
באמצעות היישומון התלמידים יבחרו ישר שלדעתם הינו ישר הקירוב המיטבי.
3. בעיית מטרה 3
נורית הציעה את הדרך הבאה למציאת ישר הקירוב המיטבי:
- לחשב את הערכים המוחלטים של ההפרשים, בין הטמפרטורה שנמדדה בתוך העוגה, לבין זו שמחשבים לפי ישר הקירוב המיטבי.
- לחשב את סכום הערכים המוחלטים. את הסכום נסמן ב- S.
- הישר שלפיו יתקבל סכום הערכים המוחלטים הקטן ביותר (S), ייחשב כישר הקירוב המיטבי.
חשבו את הסכום S עבור הישר שהצעתם בבעיית מטרה 2.
השוו את התוצאה שקיבלתם עם החברים לכיתה.
איזה ישר הוא הישר ה"מנצח"?
- אחרי שפתרתם את בעיית מטרה 3, המשיכו למה עוד אפשר לשאול.
- או, במידת הצורך, פתרו את השאלות במדרגה 1.
פתרון לבעיית מטרה 3
על התלמידים להבין את התהליך המוצע לבחירת ה'ישר המנצח' וליישם אותו במקרים של הישרים שהציעו בבעיית מטרה 2.
סכום הערכים המוחלטים של ההפרשים הוא: _____=S
- אחרי שפתרתם את השאלות במדרגה 1, חזרו לבעיית מטרה 3.
- או, במידת הצורך, פתרו את השאלות במדרגה 2.
| נקודה | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| זמן האפייה בשניות | 0 | 60 | 120 | 180 | 240 | 300 |
| הטמפרטורה, בתוך העוגה, במעלות צלזיוס | 22 | 35 | 38 | 46 | 50 | 56 |
| הטמפרטורה בצלזיוס, בתוך העוגה, לפי ישר הקירוב \(g(x)\) | 26 | 44 | 50 | 56 | ||
| הערך המוחלט של ההפרש | 4 | 2 | 0 | 0 |
מטרות מדרגה 1 של בעיית מטרה 3
המדרגה מקלה על התלמיד כיוון שהנתונים מאורגנים בטבלה והטבלה מולאה חלקית.
כמו כן, נבחר קו ישר כלשהו והטבלה היא עבורו. כלומר, הטבלה מדגימה מקרה ספציפי.
- אחרי שפתרתם את השאלות במדרגה 2, חזרו לבעיית מטרה 3.
מטרות מדרגה 2 של בעיית מטרה 3
- בעיה זו מדגימה מקרה קיצון אחד שבו כל הנקודות נמצאות על ישר הקירוב המיטבי. כלומר, כל הנקודות שנמדדו נמצאות על ישר אחד.