אשכול מד טמפרטורה של מנגל - חלק א - קצב שינוי - למורה
הנחיות למורה
יחידה
מדעים
כיתה מומלצת
כיתה ח / כיתה ט
משך הזמן המומלץ
45-60 דקות
נושאים/מושגים חוץ מתמטיים הנלמדים באשכול (הֶקשר)
המרה של יחידות מדידה של טמפרטורה (צלזיוס, פרנהייט) – פיזיקה
ידע מתמטי ומיומנויות מתמטיים נדרשים
- ייצוגים שונים של פונקציה קווית ומעבר ביניהם
- תכונות של פונקציה קווית
- אחוזים
- פתרון משוואה ממעלה ראשונה
- מעבר מייצוג מילולי של נוסחה לייצוג אלגברי
מטרות האשכול
- הכרה של יחידות שונות למדידת טמפרטורה.
- פיתוח ההבנה שישנם מדי טמפרטורה שונים, המותאמים לצרכים שונים, וברמת דיוק שונה (מד טמפרטורה של מנגל, מד טמפרטורה למדידת טמפרטורה של בני אדם).
- פיתוח הידע של הקשר הלינארי הקיים בין מעלות צלזיוס למעלות פרנהייט ופיתוח המיומנות של המרת מעלות צלזיוס לפרנהייט ולהפך.
- פיתוח הידע מה זו שגיאה יחסית וכיצד ניתן לחשב אותה.
ידע מתמטי ומיומנויות מתמטיים נלמדים (חדשים)
| נושא | מושגים | מיומנויות |
|---|---|---|
| פונקציה קווית | – פונקציה קווית היא פונקציה שבה קצב ההשתנות הוא אחיד. – טבלת ערכים. – קצב השתנות אחיד. – שיפוע הקו הישר. – ייצוג אלגברי של הפונקציה הקווית. | – האחדה בין שלושה היבטים של הפונקציה הקווית: פונקציה שבה קצב ההשתנות הוא אחיד, פונקציה שהגרף שלה הוא קו ישר, ופונקציה שהייצוג האלגברי שלה הוא מהצורה: \(y=mx+b\). – מציאת ייצוג אלגברי של פונקציה קווית, בהינתן ערכיה בשתי נקודות. |
| ייצוג תופעות באמצעות פונקציה קווית | – טבלת ערכים. – קצב השתנות אחיד. – שיפוע הקו הישר. – ייצוג אלגברי של הפונקציה הקווית. | – פתירת בעיות המתארות תהליכי השתנות באמצעות פונקציה קווית. |
| אחוז | – יחס – אחוז | |
| משתנים, ביטויים אלגבריים והכללה של תופעות מספריות | – ביטוי אלגברי. – משתנה. | – מעבר מייצוג מילולי לביטוי אלגברי. |
| בעיות אורייניות מתוך מציאות הקרובה לתלמידים | – טמפרטורה. – מעלות צלזיוס. – מעלות פרנהייט. – קצב השתנות אחיד. – שיפוע הקו הישר. – פונקציה קווית. – אחוז. – יחס. – הגדרה של המושג: שגיאה יחסית. | – פתרון בעיות המשלבות בין הבנת טקסט מילולי והצגת נתונים הלקוחים מתוך המציאות, לביצוע החישובים המתאימים לפתרון הבעיות. – קריאת נתונים מתוך תמונה של מד טמפרטורה מנגל. |
מערך דידקטי מומלץ:
- רצוי לפתוח בשאלות לגבי מדידת טמפרטורה:
- מה יודעים התלמידים לגבי סולמות מדידה של טמפרטורה?
- לצורך מה מודדים טמפרטורה?
- אילו מכשירים קיימים למדידת טמפרטורה?
- ניתן לשאול גם אם התלמידים מכירים מד טמפרטורה של מנגל? לצורך מה הוא משמש?
- ארגון הכיתה: למידה בזוגות.
- ציוד נחוץ: מחשבון, מחשב, כדי שניתן יהיה להפעיל את היישומונים (לא הכרחי).
- ניהול השיעור: המורה יאפשר לתלמידים לענות על השאלות שבאשכול באופן עצמאי, כשבאפשרותם להיעזר במדרגות וביישומונים. המורה יעודד תלמידים שמתקשים להיעזר במדרגות, וידריך את התלמידים במקרה שישנן אי הבנות.
- המורה יבקש, מתלמידים שסיימו לענות על השאלות באשכול, להציע שאלה נוספת הקשורה לאשכול ולפתור אותה.
- דיון בכיתה:
התלמידים יציגו ויסבירו את תשובותיהם. רצוי לאפשר להם להציג דרכים שונות לפתרון.
יש להדגיש שהנוסחה שנמצאה לפי מד טמפרטורה מנגל המוצג בתמונה אינה מדויקת. כמו כן לא כל מדחומי המנגל הם כאלה. ישנם כאלה המדייקים בהמרה מצלזיוס לפרנהייט וההפך. - לסיכום הדיון, התלמידים יציגו את השאלות הנוספות שחשבו עליהן ואת הפתרונות לשאלות.
אשכול מד טמפרטורה של מנגל – חלק א – קצב שינוי
תיאור סיטואציה
משפחת אדיר יצאה לפיקניק ביערות הכרמל.
חנן, תלמיד כיתה ח, הוא ילד סקרן. חנן ראה את מד הטמפרטורה (החום) של המנגל.
ושאל את אביו: אני זוכר ש –
\(C\) מציין מעלות צלזיוס – יחידות מידה של טמפרטורה
ו – \(F\) מציין מעלות של פרנהייט – גם יחידות מידה של טמפרטורה.
אבל אני לא זוכר כיצד ממירים (עוברים) ממעלות צלזיוס למעלות פרנהייט ולהפך. אפשר למצוא את זה לפי מד הטמפרטורה (החום) של המנגל הזה?
אבא של חנן הציע לו לבדוק זאת.
*הערה: בבעיות הבאות חשבו באמצעות שברים פשוטים את חישוביכם (לא באמצעות שברים עשרוניים). תוכלו להיעזר במחשבון המצורף.
תמונה 1
(ניתן ללחוץ על התמונה ולהגדיל אותה)
- חנן הבין שמד הטמפרטורה הזה מראה את הטמפרטורה \((98.6)\) במעלות פרנהייט;
הסבירו כיצד חנן הבין זאת? - חנן נעזר בנתונים שאסף, ממד הטמפרטורה של המנגל, המיר את הטמפרטורה שלו למעלות צלזיוס, וקיבל שהטמפרטורה שלו היא: \(39.23^{\circ}C\) \((39\Large\frac{23}{100}\normalsize)\).
הסבירו כיצד חנן חישב את הטמפרטורה שלו במעלות צלזיוס?
תמונה 2
- אחרי שפתרתם את בעיית מטרה 1, המשיכו לבעיית מטרה 2.
- או, במידת הצורך, פתרו את השאלות במדרגה 1.
יישומון – מחשבון המרה לשבר פשוט
- ניתן לרשום מספר עשרוני, או תרגיל, ובסיום להקיש \(Enter\).
פתרון בעיית מטרה 1
- לא יתכן שטמפרטורה של אדם תהיה שווה ל- \(98.6^{\circ}C\).
- יש להבין שקיים קשר לינארי בין מעלות צלזיוס למעלות פרנהייט, כפי שהם מופיעים במד הטמפרטורה של המנגל, הנתון בבעיה, כיוון שקצב השינוי קבוע: כל עליה של טמפרטורה ב- \(55^{\circ}C\) גורמת לעליית הטמפרטורה ב- \(100^{\circ}F\).
יש למצוא את הביטוי לפונקציית הקו הישר: \(y_F=\Large\frac{20}{11}\normalsize x_C+27\Large\frac{3}{11}\)
ולפתור את המשוואה:
\(98.6=\Large\frac{20}{11}\normalsize x_C+27\Large\frac{3}{11}\)
או \(y_C=\Large\frac{11}{20}\normalsize x_F-15\)
ולהציב: \(y_C=\Large\frac{11}{20}\normalsize\cdot98.6-15\)
(ניתן ללחוץ על התמונה ולהגדיל אותה)
האם הגרף שחנן סרטט מתאים לנתונים המוצגים במד הטמפרטורה של המנגל שבתמונה 1 ? נמקו.
תוכלו להיעזר ביישומון המצורף.
תמונה 1
(ניתן ללחוץ על התמונה ולהגדיל אותה)
- אחרי שפתרתם את השאלות במדרגה 1, חזרו לבעיית מטרה 1.
- או, במידת הצורך, פתרו את השאלות במדרגה 2.
- סמנו שיעורי נקודות בתיבות המתאימות ביישומון ובדקו:
- לסימון נקודה: סמנו את תוכן הסוגריים בעזרת העכבר. רשמו: את שיעור \(x\), פסיק, ואת שיעור \(y\). לחצו \(Enter\). שיעורי הנקודה צריכים להיות מוקפים בסוגריים.
- גררו את סמל ה +, שעל הקו האנכי המקווקו, כדי לצפות בערכים על הישר המוצג.
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים
ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ 
בצד שמאל שבתפריט העליון. - להגדלה/להקטנה של הגרף, יש ללחוץ בעכבר על היישומון, ואז לגלגל את גלגלת העכבר כדי להגדיל/להקטין.
- לניקוי היישומון כדי להתחיל מחדש, יש ללחוץ על חיצי האתחול
שבפינה הימנית העליונה.
- ניתן לרשום מספר עשרוני, או תרגיל, ובסיום להקיש \(Enter\).
פתרון מדרגה 1 לבעיית מטרה 1
בעיה 1.1.1
הגרף מתאים לנתונים שמוצגים בתמונה 1 (מד טמפרטורה של המנגל).
דרך אחת: לבדוק האם כל 7 הנקודות הנתונות נמצאות על הגרף הנתון.
דרך שנייה: לחשב את הביטוי של הקו הישר על פי שתי נקודות שנמצאות עליו, ולבדוק האם על ידי הצבת השיעורים של הנקודות הנותרות בביטוי, מתקבלים פסוקי אמת.
מטרות מדרגה 1 לבעיית מטרה 1
בעיה 1.1.1
הבעיה עוזרת לתלמיד להבין שפונקציית ההמרה ממעלות צלזיוס למעלות פרנהייט, על פי הנתונים במד טמפרטורה מנגל, היא פונקציה קווית.
היישומון מאפשר לסמן נקודות ולבדוק האם הן נמצאות על הגרף הנתון.
לפניכם הגרף שסרטט חנן:
(ניתן ללחוץ על התמונה ולהגדיל אותה)
אם הטמפרטורה עולה ב- \(11^{\circ}C\), בכמה מעלות פרנהייט תעלה הטמפרטורה לפי מד הטמפרטורה של המנגל?
תוכלו להיעזר ביישומון המצורף.
תמונה 1
(ניתן ללחוץ על התמונה ולהגדיל אותה)
- אחרי שפתרתם את השאלות במדרגה 2, חזרו לבעיית מטרה 1.
- או, במידת הצורך, פתרו את השאלות במדרגה 3.
- סמנו שיעורי נקודות בתיבות המתאימות ביישומון ובדקו:
- לסימון נקודה: סמנו את תוכן הסוגריים בעזרת העכבר. רשמו: את שיעור \(x\), פסיק, ואת שיעור \(y\). לחצו \(Enter\). שיעורי הנקודה צריכים להיות מוקפים בסוגריים.
- רשמו בתיבה \(g\) ביטוי לפונקצית הקו הישר.
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בצד שמאל שבתפריט העליון.
- להגדלה/להקטנה של הגרף, יש ללחוץ בעכבר על היישומון, ואז לגלגל את גלגלת העכבר כדי להגדיל/להקטין.
- לניקוי היישומון כדי להתחיל מחדש, יש ללחוץ על חיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.
יישומון – מחשבון המרה לשבר פשוט
- ניתן לרשום מספר עשרוני, או תרגיל, ובסיום להקיש \(Enter\).
פתרון מדרגה 2 לבעיית מטרה 1
בעיה 1.2.1
נתון: \(B(40,100)\) , \(C(150,300)\).
עליית טמפרטורה ב- \(110^{\circ}C\) תואמת לעליית טמפרטורה ב- \(200^{\circ}F\).
כיוון שהפונקציה קווית וקצב השינוי שלה קבוע, עליית טמפרטורה ב- \(11^{\circ}C\) תואמת לעליית טמפרטורה ב- \(\Large\frac{200^{\circ}F}{10}\normalsize=20^{\circ}F\).
מטרות מדרגה 2 לבעיית מטרה 1
בעיה 1.2.1
הבעיה עוזרת לתלמיד להבין שפונקציית ההמרה ממעלות צלזיוס למעלות פרנהייט, על פי הנתונים במד טמפרטורה מנגל, היא פונקציה קווית.
הבעיה וסימון המדרגה בסרטוט הקו הישר מאפשרים לתלמיד להבין שניתן למצוא את הפונקציה הקווית וכיצד למצוא את שיפוע הישר.
היישומון מאפשר לסמן נקודות ולבדוק האם הן נמצאות על הגרף הנתון. הוא גם מאפשר להקליד ביטוי של פונקציה ולבדוק האם היא מתלכדת עם הגרף הנתון.
היישומון מאפשר הן בדיקה והן פיתוח ההבנה שניתן, על פי נתונים במד הטמפרטורה של המנגל, לבנות ביטוי לפונקציה קווית ולהיעזר בביטוי להמרת מעלות צלזיוס למעלות פרנהייט ולהפך.
- סמנו שיעורי נקודות בתיבות המתאימות ביישומון ובדקו:
- לסימון נקודה: סמנו את תוכן הסוגריים בעזרת העכבר. רשמו: את שיעור \(x\), פסיק, ואת שיעור \(y\). לחצו \(Enter\). שיעורי הנקודה צריכים להיות מוקפים בסוגריים.
- רשמו בתיבה \(g\) ביטוי לפונקצית הקו הישר.
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בצד שמאל שבתפריט העליון.
- להגדלה/להקטנה של הגרף, יש ללחוץ בעכבר על היישומון, ואז לגלגל את גלגלת העכבר כדי להגדיל/להקטין.
- לניקוי היישומון כדי להתחיל מחדש, יש ללחוץ על חיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.
יישומון – מחשבון המרה לשבר פשוט
- ניתן לרשום מספר עשרוני, או תרגיל, ובסיום להקיש \(Enter\).
פתרון מדרגה 3 לבעיית מטרה 1
בעיה 1.3.1
סעיף א
| מעלות צלזיוס | מעלות פרנהייט |
|---|---|
| 40 | 100 |
| 95 | 200 |
| 150 | 300 |
| 205 | 400 |
| 260 | 500 |
| 315 | 600 |
| 370 | 700 |
סעיף ב
טמפרטורה של \(40^{\circ}C\) לפי מד טמפרטורה מנגל מתאימה ל- \(100^{\circ}F\).
\(40^{\circ}C-55^{\circ}C=-15^{\circ}C\)
ירידה ב- \(55^{\circ}C\) מתאימה לירידה ב- \(100^{\circ}F\) לפי מד טמפרטורה מנגל.
לכן הטמפרטורה המתאימה ל- \(-15^{\circ}C\) לפי מד טמפרטורה מנגל היא: \(100^{\circ}F-100^{\circ}F=0^{\circ}F\).
מטרות מדרגה 3 לבעיית מטרה 1
בעיה 1.3.1
הטבלה מאפשרת לתלמיד לארגן טבלת ערכים של פונקציה בצורה המוכרת לו, לזהות שקצב השינוי הוא קבוע, למצוא את קצב השינוי ולהיעזר בקצב השינוי כדי לחשב כמה הם \(-15^{\circ}C\) במעלות פרנהייט, לפי מד טמפרטורה של המנגל.
2. בעיית מטרה 2
חנן התפלא ושאל את אביו: האם אני חולה? אבא של חנן הציע לו לבדוק באינטרנט כיצד ממירים (עוברים) ממעלות צלזיוס למעלות פרנהייט ולהפך.
חנן חיפש באינטרנט כיצד למצוא את הקשר בין מעלות צלסיוס למעלות פרנהייט ומצא את ההסבר הבא:
כדי להמיר מעלות צלזיוס לפרנהייט: מכפילים את מעלות הצלזיוס ב- \(\Large\frac{9}{5}\) ולתוצאה מוסיפים \(32\).
חנן חישב שוב את הטמפרטורה שלו במעלות צלזיוס על פי ההסבר שמצא באינטרנט.
תמונה 2
ואמר:
"זה לא יוצא \(39.23^{\circ}C\), אז מה קורה כאן?"
אבא של חנן הסביר לו שמד הטמפרטורה של המנגל מתאים למדידת טמפרטורות גבוהות ולא נדרש להיות כל כך מדויק, להבדיל ממד טמפרטורה המתאים לבני אדם.
לכן הנתונים במד הטמפרטורה של המנגל אינם מתאימים למציאת נוסחה מדויקת להמרה ממעלות צלזיוס לפרנהייט ולהפך.
- בטאו את הטמפרטורה המדויקת של חנן במעלות צלזיוס. פרטו חישוביכם.
- על פי המידע באינטרנט חנן מצא ש \(40^{\circ}C\) אינן מתאימות ל־ \(100^{\circ}F\) (כפי שמראה
מד הטמפרטורה של המנגל בתמונה 1).
מצאו לכמה מעלות פרנהייט מתאימות \(40^{\circ}C\). פרטו חישוביכם.
תוכלו להיעזר ביישומון לבדיקת תשובותיכם.
תמונה 1
(ניתן ללחוץ על התמונה ולהגדיל אותה)
- אחרי שפתרתם את בעיית מטרה 2, המשיכו למה עוד אפשר לשאול.
- או, במידת הצורך, פתרו את השאלות במדרגה 1.
- ניתן לרשום מספר עשרוני, או תרגיל, ובסיום להקיש \(Enter\).
פתרון לבעיית מטרה 2
- לפניכם הנוסחה המדויקת להמרה ממעלות צלזיוס למעלות פרנהייט: \(y_F=1.8x_C+32\)
יש לפתור את המשוואה: \(98.6=1.8x+32\)
הפתרון מלמד כי הטמפרטורה המדויקת של חנן היא: \(37^{\circ}C\).
\(\space\) - \(104^{\circ}F\).
2.1 מדרגה 1 לבעיית מטרה 2
בעיה 2.1.1
לפניכם ההסבר מהאינטרנט כיצד להמיר מעלות צלזיוס למעלות פרנהייט:
כדי להמיר מעלות צלזיוס לפרנהייט: מכפילים את מעלות הצלזיוס ב- \(\Large\frac{9}{5}\) ולתוצאה מוסיפים \(32\).
לפי הסבר זה חשבו:
- כמה מעלות פרנהייט הם \(0^{\circ}C\)? נמקו.
- כמה מעלות פרנהייט הם \(10^{\circ}C\)? נמקו.
תוכלו להיעזר ביישומון לבדיקת תשובותיכם.
תמונה 1
(ניתן ללחוץ על התמונה ולהגדיל אותה)
- אחרי שפתרתם את השאלות במדרגה 1, חזרו לבעיית מטרה 2.
- סמנו שיעורי נקודות בתיבות המתאימות ביישומון ובדקו:
- לסימון נקודה: סמנו את תוכן הסוגריים בעזרת העכבר. רשמו: את שיעור \(x\), פסיק, ואת שיעור \(y\). לחצו \(Enter\). שיעורי הנקודה צריכים להיות מוקפים בסוגריים.
- רשמו בתיבה \(g\) ביטוי לפונקצית הקו הישר.
- גררו את סמל ה +, שעל הקו האנכי המקווקו, כדי לצפות בערכים על הישר המוצג.
- למתיחת או כיווץ הצירים, יש לבחור בתפריט העליון את ארבעת החיצים ולגרור את העכבר על הציר המבוקש. בסיום, כדי להמשיך, יש לבחור בחץ בצד שמאל שבתפריט העליון.
- להגדלה/להקטנה של הגרף, יש ללחוץ בעכבר על היישומון, ואז לגלגל את גלגלת העכבר כדי להגדיל/להקטין.
- לניקוי היישומון כדי להתחיל מחדש, יש ללחוץ על חיצי האתחול שבפינה הימנית העליונה.
יישומון – מחשבון המרה לשבר פשוט
- ניתן לרשום מספר עשרוני, או תרגיל, ובסיום להקיש \(Enter\).
פתרון מדרגה 1 לבעיית מטרה 2
בעיה 2.1.1
פתרון בהתאם להסבר המילולי, ללא הכרח בשלב זה לכתוב נוסחת המרה.
\(y_F=\Large\frac{9}{5}\normalsize\cdot 0^{\circ}C+32=32^{\circ}F\)
ל- \(0^{\circ}C\) מתאימה טמפרטורה של \(32^{\circ}F\).
\(y_F=\Large\frac{9}{5}\normalsize\cdot 10^{\circ}C+32=50^{\circ}F\)
ל- \(10^{\circ}C\) מתאימה טמפרטורה של \(50^{\circ}F\).
מטרות מדרגה 1 לבעיית מטרה 2
בעיה 2.1.1
הבעיה מאפשרת לתלמיד להיעזר בהסבר המילולי הניתן, להמרה ממעלות צלזיוס למעלות פרנהייט, לצורך חישובים, כשלב מקדים לכתיבת הנוסחה המתאימה בכתיב מתמטי.